Ромб — Википедия

Ромб (др.-греч. ῥόμβος, лат. rombus) — это параллелограмм, у которого все стороны равны[1] (см. другие варианты определения).

Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского.

• Ромб является параллелограммом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно параллельны: АВ || CD, AD || ВС. Противоположные углы ромба равны, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.
• Высоты в ромбе равны между собой.
• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (AC ⊥ BD) и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD и т. д.).
• Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из тождества параллелограмма).
• Середины четырёх сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
• Диагонали ромба являются осями его симметрии.
• В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.
• Диагонали и ромба выражаются через сторону ромба и угол между двумя смежными сторонами ромба как

;

.

Самое общее определение: ромб — это выпуклый четырёхугольник[2], все стороны которого равны друг другу. Можно показать, что такой четырёхугольник является параллелограммом[3][1].

Параллелограмм является ромбом тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий[4]:

• Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны).
• Его диагонали пересекаются под прямым углом.
• Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам. Другими словами, диагональ является биссектрисой противоположных углов.
• Диагонали параллелограмма делят его на четыре равных между собой треугольника.
• Диагонали параллелограмма являются осями симметрии[5].

Помимо всего, ромб можно рассматривать как частный случай дельтоида, у которого любые две смежные стороны равны между собой.

Из определения квадрата, как четырёхугольника, у которого все стороны и углы равны, следует, что квадрат — частный случай ромба. Иногда квадрат определяют, как ромб, у которого все углы равны.

Однако иногда под ромбом может пониматься только четырёхугольник с непрямыми углами, то есть с парой острых и парой тупых углов[6][7].

Уравнение ромба с центром в точке и диагоналями, параллельными осям координат, может быть записано в виде[8]:

где — половины длин диагоналей ромба по осям соответственно.

Длина стороны ромба равна Площадь ромба равна Левый угол ромба рассчитывается по формуле:

Второй угол дополняет его до 180°.

В случае a = b уравнение отображает повёрнутый на 45° квадрат:

где сторона квадрата равна а его диагональ равна Соответственно площадь квадрата равна

Из уравнения видно, что ромб можно рассматривать[8] как суперэллипс степени 1.

• Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

• Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.

• Кроме того, площадь ромба может быть вычислена по формуле:

• ,

где — угол между двумя смежными сторонами ромба.

• Также площадь ромба можно рассчитать по формуле, где присутствует радиус вписанной окружности и угол :

• Площадь ромба равна удвоенному произведению стороны и радиуса вписанной окружности:

Радиус вписанной окружности r может быть выражен через диагонали p и q в виде[9]:

Ромб является простой геральдической фигурой.

• Червлёный ромб в серебряном поле
• В червлёном поле 3 сквозных ромба: 2 и 1
• Просверленный червлёный ромб в серебряном поле
• В лазури левая перевязь, составленная из пяти вертикальных золотых ромбов

Ромб симметричен относительно любой из своих диагоналей, поэтому часто используется в орнаментах и паркетах.

• Ромбический орнамент
• Ромбические звёзды
• Более сложный орнамент

См. другие примеры на Викискладе.

• 1 2 Элементарная математика, 1976, с. 435..
• ↑ Требование выпуклости нужно, чтобы исключить случаи вырожденного четырёхугольника, у которого часть вершин совпадают (например, фигура, имеющая вид буквы V и ромбом не являющаяся).
• ↑ Погорелов А. В. Домашняя работа по геометрии за 8 класс. Архивная копия от 19 апреля 2023 на Wayback Machine М.: Просвещение, 2001, С. 18.
• ↑ Элементарная математика, 1976, с. 435—436..
• ↑ Шахмейстер А. Х. Треугольники и параллелограммы // Геометрические задачи на экзаменах. Часть 1. Планиметрия : [арх. 20 февраля 2023] : книга / А. Х. Шахмейстер. — СПб. : «Петроглиф» : «Виктория плюс» ; М. : Издательство МЦНМО, 2015. — С. 26. — 392 с. : илл. — (Математика. Элективные курсы). — 1500 экз. — ББК 22.141я71.6. — УДК 373.167.1:512(G). — ISBN 978-5-98712-083-5. — ISBN 978-5-91673-155-2. — ISBN 978-5-4439-0347-7.
• ↑ Ромб // Малый академический словарь. — М.: Институт русского языка Академии наук СССР. Евгеньева А. П.. 1957—1984.
• ↑ Чудинов А. Н. Ромб // Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. 1910.
• 1 2 Weisstein, Eric W. Superellipse (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Здесь ромб назван diamond.
• ↑ Weisstein, Eric W. Rhombus (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.

Источник: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%BE%D0%BC%D0%B1